Junio-Julio

Actividad 1. Acercamiento al concepto del derivada

Indicaciones: Integrate en equipos de 3 a 5 personas, y con base en el material que se te expuso previamente realiza las acciones que se te indican. Luego hagan un resumen por equipo y preparen una cartulina para su exposición.

Ver nuevamente el material:

Equipo 1.
1. Definan que es el incremento de una variable independiente
2. ¿Cómo se representaría simbólicamente?
3. ¿Cómo se representaría gráficamente?
Equipo 2
1. Definan que es el incremento de una función
2. ¿Cómo se representaría simbólicamente?
3. ¿Cómo se le representaría gráficamente?
Equipo 3
1. ¿Cómo se comporta una función cuando el incremento de la variable independiente es tan pequeño que tiende a cero?
2. ¿Cómo se le representa matemáticamente?
3. ¿Y cómo gráficamente?
Equipo 4
1. Utilizando lo anterior, ¿Cuál sería el concepto de derivada?
2. ¿Cómo representarla gráficamente?

Nota: Según el número de equipos el material se distribuirá de tal forma que todos los miembros del grupo tengan una participación más o menos similar 

Actividad 2. Calculando la derivada usando límites

Notas:

• En ejercicios anteriores, se hizo variar primero, la variable independiente para observar el valor del cambio al que llamamos, incremento o decremento según fuera el caso. Usaremos la notación de Leibnitz x, ∆x  para referirnos a la variable independiente
• Después, evaluamos la función cuando la variable independiente cambiaba, y calculamos el incremento de la función. Usaremos la notación y, ∆y para la variable dependiente 
• Luego, calculamos el límite de la función cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero (Δx→0 )
• Y por último, calculamos el incremento de toda la función cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, y dijimos que esta es la definición matemática de derivada, o sea:

Para una mejor comprensión, he elaborado un gif animado para que veas porqué se dice que la derivada es una pendiente en el límite. Observa con cuidado como va cambiando la pendiente cuando el punto móvil se va acercando a 1, y la línea "se pierde" en el límite, es decir cuando la diferencia entre el punto móvil y el fijo es tan pequeño que su diferencia tiende a cero

Enseguida, haremos esto por el método denominado por incrementos:

Ejemplo: Este ejercicio lo puedes realizar utilizando Excel, sin embargo, también puedes hacerlo con la opción de Tabla de Mathlab para Android:

En el ejercicio anterior, observa como hicimos los siguientes cálculos:

Intenta complementar el siguiente cuadro utilizando la función:

                        Y = 3x-1   para x= 4 

Podemos concluir que:

Preguntas de reflexión:

• ¿El resultado es el mismo si varía el valor de x ?
• Si cambiamos el coeficiente de x, de 3 a 5, ¿cuál sería el límite así calculado?

Actividad 3. Regla de los cuatro pasos para la derivación:

Utilizando el ejemplo anterior, obtendrías el mismo resultado siguiendo estas sencillas reglas:

Actividad de reflexión y concreción:

Utiliza tus apuntes de clase y completa la siguiente tabla:

  

Ejercicios para desarrollar habilidades matemáticas y pensamiento variacional:

Indicaciones: Utiliza las fórmulas anteriores para encontrar la derivada de las funciones. Luego, con la ayuda de Mathlab para android, haz una descripción del comportamiento de la derivada (creciente, decreciente, positiva, negativa, indefinida o cero) para un intervalo dado para el dominio -10≤ x ≤ 10 , luego, elige un punto visible en la gráfica de tu pantalla y ahí determina la recta tangente a dicho punto. (Ver ejemplo)

Actividad 4. Aplicaciones de la derivada

Objetivo: Motivar en el alumno la reflexión producto del empleo o de la aplicación de los conocimientos adquiridos en los talleres anteriores en la resolución de problemas.

Temas a cubrir:

a)  Optimización de funciones

b)  Máximos relativos

c)  Mínimos relativos

Metodología:

a) Lectura y análisis en equipo/grupo de los problemas resueltos

b) Exposición y demostraciones por parte del asesor de aspectos clave

c) Investigación bibliográfica de temas afines en bibliografía              recomendada

d) Planteo de situaciones problémicas ideales o reales

e) Algoritmos de solución

Problemas resueltos

a) Cierto agricultor tiene 100 metros de material para cercar un área rectangular para que su perro se ejercite. ¿Cuál es el ancho del espacio que será cercado del área máxima?

Estrategia sugerida de resolución de problemas según Polya:

Paso 1: Asegurarnos de entender claramente el problema. Algo como esto puede ayudar:

F  ¿De qué datos disponemos?

F  ¿Graficar ayuda a entender más claramente el problema?

F  ¿Hemos resuelto antes algún problema parecido?

F  ¿Qué resultado es el que me solicitan?

De problemas similares sabemos que:

- Área (A) = [ancho][largo] = (a)(b)

- puesto que no se indican restricciones,  a £ b

- Perímetro= 2(a+b) = 100

- El resultado que se solicita es el área máxima (A^*), por tanto, al variar alguno de los      resultados obtenidos manteniendo el valor del perímetro, el valor del área debe disminuir

Paso 2: Formular un plan. Hay muchas formas de resolver un problema, las estrategias son:

F  Elabore una tabla o un diagrama (método a “pie”)

F  Busque un patrón de comportamiento de los datos

F  Resuelva un problema similar más sencillo

F  Haga un dibujo

F  Use el razonamiento inductivo

F  Si una fórmula es aplicable, úsela

F  Vuelva a revisar su trabajo

F  Haga suposiciones o hipótesis y verifíquelas

F  Use el método de ensayo-error (tanteo)

F  Use su sentido común

F Si una respuesta parece muy obvia o imposible, busque una “trampa”

Vamos a comenzar con la elaboración de una tabla:

Como se puede observar, en la interacción no. 9 el ancho y el largo se igualan y el área es la máxima. Esto no ocurre cuando el largo es mayor que el ancho pues el área es menor de 625. Otra cosa que se puede observar es que la función es creciente de la interacción 1 a la 9, y a partir de ahí, se vuelve descendente, lo cual puede contestar la hipótesis de si el resultado encontrado es efectivamente el máximo. Un dibujo de estos datos nos puede ayudar a entender mejor esto:

El gráfico permite dar mayor seguridad en nuestra respuesta. Ahora es más evidente el comportamiento del área en función del ancho del rectángulo manteniendo constante el perímetro de la cerca. Cuando el valor del ancho excede a 25, el área comienza a disminuir. La forma parabólica del área nos sugiere que el vértice de la parábola es (25, 625), de ahí que cualquier coordenada mayor a 25 puede calcularse por su recíproco de la parábola, es decir el área con ancho a 23 será la misma que con 27, etc.

Paso 3. Llevar a cabo el plan. Si lo realizado anteriormente nos permite enfocar correctamente el problema, entonces el plan de solución puede desprenderse de los pasos anteriores.

Rescatemos algunos detalles:

Si   P= 100 = 2(a +b), entonces b = 50 – a

Puesto que A = (a)(b), entonces el área en función del ancho será:   f(a)= (50 – a)(a)

                                   f(a) = 50a – a²

Derivando la función anterior:

                                   f’(a) = 50 – 2a

En el gráfico se pudo observar que el área máxima corresponde al punto de pendiente cero, por lo que:

                                    A^* Þ f’(a) = 50 – 2a  = 0   ;    a = 50 / 2 = 25

lo cual coincide con la solución obtenida anteriormente

Paso 4. Revisa y comprueba tus resultados. Deberás revisar que tus resultados sean congruentes y satisface las condiciones del problema, conviene preguntarse si el problema pudo resolverse de otra forma y llegar aun así al mismo resultado.

Comprobación:

Ancho 24:     A = 50(24) – (24)² = 624

Ancho 25:      A = 50(25) – (25)² = 625     que es el área máxima

Ancho 26:      A = 50(26) – (26)² = 624

Finalmente, reflexione acerca de otro tipo de problemas que puede resolver utilizando todo o parte del problema resuelto anteriormente

Indicaciones: Utiliza el ejercicio anterior como referencia. Analiza el esquema de solución y plantea la forma de resolver estos problemas. Utiliza si lo deseas, el método largo antes de plantear matemáticamente tu respuesta. Es recomendable usar una hoja por problema para dejar claro todos tus cálculos.

Actividad 5. Desarrollando habilidades de pensamiento variacional

A continuación, se presentan ejercicios tomados de libros clásicos de cálculo -citados al final de este apartado- cuyo mérito principal es la intención de generar situaciones didácticas para que el alumno desarrolle habilidades matemáticas. Sin embargo, en nuestro curso queremos ir un poco más allá de eso estimulando el uso de simuladores gráficos (Winplot, Excel, Mathlab), tabuladores dinámicos (Excel y Mathlab), así como también el uso de la metodología de Polya para la resolución de problemas como un excelente método para el desarrollo del pensamiento formal. 

Indicaciones: Utiliza el ejercicio anterior como referencia. Analiza el esquema de solución y plantea la forma de resolver estos problemas. Utiliza si lo deseas, el método largo antes de plantear matemáticamente tu respuesta. Es recomendable usar una hoja por problema para dejar claro todos tus cálculos.

Problema 1.

Una industria está situada fuera de la ciudad junto al paso de una vía de ferrocarril. El gerente pide una corrida especial de la ciudad a la industria para sus empleados. La empresa ferrocarrilera está de acuerdo en establecer la corrida especial siempre que viajen por lo menos 200 personas, entendiéndose que el pasaje costará $8.00 por persona si van 200 personas, y se disminuirá un centavo por cada persona que sobrepase a las 200 (es decir: si viajan 250 personas el pasaje costará 7.50 $/persona). ¿Qué número de pasajeros proporcionará el máximo ingreso total al ferrocarril?

Problema 2.

Un edificio tiene 80 oficinas. Cuando la renta es de $60.00 mensuales por oficina, todas están ocupadas. Por cada $2.00 de aumento mensual en la renta por oficina, se desocupa una. Si los gastos fijos (conservación, impuestos y limpieza) son de $6.00 por oficina, ¿qué renta producirá la máxima utilidad al propietario?

Problema 3.

Una empacadora desea fabricar latas en forma de cilindro circular con un volumen de 1,570 cm³ para cada uno de sus productos. Determinar el radio y la altura que proporcionen un mínimo costo por lata. Es decir, mínima superficie total para el cilindro circular. (Superficie lateral más las dos tapas). Área del círculo = pr²   Área lateral del cilindro = 2prh Volumen del cilindro = pr²h

Problema 4.

Un granjero tiene 800 m de cerca con la que se desea cercar un terreno rectangular. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del terreno de manera que obtenga la máxima área posible, si uno de los lados no necesita cerca por ser la margen de un río?

Problema 5.

La tienda de departamentos de Morgan quiere construir un estacionamiento rectangular en un terreno que está limitado en un lado por la autopista. Tiene 280 ft de cerca que se utilizarán para cercar los otros tres lados. ¿Cuáles son las dimensiones del estacionamiento si el área cercada debe ser la máxima? ¿Cuál es el área máxima?

Problema 6.

Un veterinario tiene 250 metros de material para cercar un área rectangular para que su perro se ejercite. ¿Cuál es el ancho del espacio que será cercado del área máxima?

Problema 7.

El consumo mundial de petróleo en millones de barriles diarios se da por:

                                               f(x) = -0.1x² + 2x + 58

Donde x es el número de años desde 1985 (1985 corresponde a cero). De acuerdo con esta ecuación, ¿Cuándo alcanzará el consumo un máximo? ¿Cuál será el consumo máximo? Analice de una forma realista cómo describe esta ecuación el consumo de petróleo

Problema 8.

Las recientes tasas (en porcentajes) de inflación anuales en México se dan por la función:

                                   f(x) = 42x² -48x +154

Donde x representa el número de años desde 1987. ¿En qué año indica esta ecuación que la tasa de inflación será mínima? ¿Cuál es la tasa mínima? Analiza de una forma realista cómo puede o nó ser esto

Problema 9

Si un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 32 ft/seg, entonces su altura después de t segundos está dada por:

                                               h(t) = 32t – 16t²

Encuentre la altura máxima que alcanza el objeto y el número de segundos que tarda en tocar el suelo

Problema 10

Un proyectil se lanza hacia arriba de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo en t segundos después de que se dispara es:

                                                s(t) = -16t² +400

Encuentre la altura máxima que alcanza y el número de segundos que tarda en alcanzar esa altura

Problema 11

Si se desprecia la resistencia al aire, un proyectil que se dispara directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 40 m/seg estará a una altura de s metros dada por la función

                                               s(t) = -4.9t² +40t

Donde t es el número de segundos transcurridos desde el lanzamiento. ¿Después de cuántos segundos alcanzará su altura máxima y cuál es esa altura? Redondee sus respuestas al décimo más cercano

Problema 12

Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra 48.00 $/persona, más $2.00 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtenga lo siguiente:

a) Una función que defina el ingreso total, I_T, del viaje (Sugerencia: multiplique el número total de pasajeros, 42-x, por el precio del boleto 48 + 2x);

b)  La gráfica de la función de la parte (a);

c)  El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo

d)  El ingreso máximo

Problema 13.

Dada la función de la demanda   P= 8.25e^-0.02Q

a)    Determinar la cantidad y el precio a los que se maximizarán los ingresos totales I_T= (P)(Q)

b)      Comprobar el resultado con la condición de la 2ª derivada

 Problema 14.

Determínese el precio y la cantidad que maximizarán los ingresos totales, dada la función de la demanda P= 12.5e^-0.005Q  y verifique la condición de segundo grado

Bibliografía:

1. Sáenz Quiroga, E. 1981. Matemáticas para economistas. Aplicaciones de la derivada. Fondo de Cultura Económica. México.

2. Dowling Edward, T. 1982. Matemáticas para economistas. Teoría y 1752 problemas resueltos. Serie Schaum. Edit. Mc Graw Hill.

3.  Miller, C., Heeren, V. y Hornsby E. 1999. Matemática: Razonamiento y aplicaciones. Editorial Addison Wesley  Longman de México, S.A. de C.V.