Precálculo
En esta sección, haremos un recuento de algunas cosas aprendidas a lo largo de tu formación académica pero con un enfoque eminentemente práctico y para lograr un aprendizaje significativo, la intención es que movilices a partir de la acción esos conocimientos.
Sistema de números reales
Te propongo que veas la siguiente página en Vitutor y luego, respondas las preguntas que ahí se presentan a manera de autoevaluación:
Ver tema en Vitutor: Números reales
$\frac{2}{3}$
Te invito a que hagas comentarios en esta página respondiendo las siguientes preguntas:
¿Cuál sería tu definición personal sobre los números reales?
En el gráfico que presenta el autor...
¿Qué representa la letra $ \mathbb{R}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{N}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{I}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{Q}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{Z}$ y qué elementos lo componen?
Desigualdades
Por oposición, una desigualdad es una relación de una o dos variables en que una de ellas no es igual al valor opuesto en la expresión. Por ejemplo $x>3$ significa que la variable $x$ puede tomar cualquiera de los valores posteriores a $3$, es decir, no incluye al $3$, por ejemplo $3.00000000001$
Tratándose de dos variables, por ejemplo $y> x$ significa que los valores que toma la variable $y$ están por arriba de los valores de $x$. Para entender esta nueva relación imaginemos que $y = x$. Al graficar dicha relación obtenemos una línea que corta exactamente a la mitad el cuadrante $1$. Si ahora decimos que $y$ > $x$ entonces, los valores de $y$ serán los que estén por encima de dicha relación tal como se aprecia en la gráfica:
A continuación, te presento una hoja activa de Geogebra en donde puedes, de manera práctica comprender de manera más amplia el concepto
Al lado izquierdo, ves tres círculos que se pueden activar y desactivar para visualizar una inecuación. En la pantalla, $1x > 0.5$ puede cambiarse si se mueven los botones de abajo que tienen las letras $a$ y $b$ la inecuación cambia pues está escrita de la forma $bx > a$
La segunda inecuación, está escrita de la forma $y = bx + a$ lo que significa que si se mueven los tres botones, la forma original que se ve en el lado izquierdo también cambia
Por último, si desactivamos las dos primeras inecuaciones y solo dejamos la última, escrita como $y = x$, veremos una gráfica similar a la imagen mostrada antes de esta hoja dinámica. Hasta abajo verás del lado izquierdo, tres círculos para los botones $a, b$ y $c$ llamados deslizadores. A la derecha de cada uno de ellos, tiene un botón para iniciar la reproducción automática para que observes la variación
Todos los botones de la gráfica son susceptibles de modificar en sus valores, solo hay que dar un doble click para activar el objeto en forma de edición, y luego un click para hacer los cambios a las ecuaciones. Enseguida, mover los deslizadores hasta colocarlos en el valor deseado
Intenta hacer los cambios a las desigualdades:
En la primer desigualdad, haz que cambie de $1x > 0.5$ a $1x^2 > 0.5$ y luego a $1x^3 > 0.5$
¿Qué observas por ejemplo cuando $1x^2 > 4$ ?, de la misma manera ¿que ocurre cuando $1x^3 > 3$ ?
Desactiva la primer desigualdad y activa la segunda. ¿Qué ocurre cuando $y = 1x^3 + 3$ ?¿Y si modificas de forma que quede $y = 1x^2 + 3$?
¿ Y si todas las desigualdades cambian el signo de $>$ a $< $?
Ahora, si activas las dos primeras de tal forma que se vea $y = 1x^3 + 1$ al mismo tiempo que $1x^3 + 1$ ?¿Cómo se interpreta ese nuevo resultado? ¿Qué representa cada área y la que aparece entre la azul y la verde?
Comenta tus respuestas en el espacio al final de esta página.
Análisis de funciones:
En este curso, se hace énfasis en el estudio de la variación, de ahí, que resulta primordial definir con claridad aspectos clave. Al igual que el tema anterior, trataremos de abordar el tema desde una perspectiva geométrico-analítica y para ello, nos auxiliaremos del Geogebra. En la pestaña que dice applets, encontrarás una propuesta para cada una de ellas
Ahora veamos algunas definiciones empíricas relativas al tema de funciones:
Se observa que para $y=-1$ el intervalo es $(-∝ , 0]$ e incluye al $0$, y para el trozo formado por la recta $y = x$ el intervalo es $(0 , 1)$ y no están incluidos ni el $0$ ni el $1$. Para el último trozo la función es $y = -x^2 + 2.5$ y se observa que inicia en $x=1$, es decir, sí lo incluye y se mantiene constante hasta el infinito por lo que, su intervalo es $[1 , ∝)$
Sistema de números reales
Te propongo que veas la siguiente página en Vitutor y luego, respondas las preguntas que ahí se presentan a manera de autoevaluación:
Ver tema en Vitutor: Números reales
$\frac{2}{3}$
Te invito a que hagas comentarios en esta página respondiendo las siguientes preguntas:
¿Cuál sería tu definición personal sobre los números reales?
En el gráfico que presenta el autor...
¿Qué representa la letra $ \mathbb{R}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{N}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{I}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{Q}$ y qué elementos lo componen?
¿Qué representa la letra $ \mathbb{Z}$ y qué elementos lo componen?
Desigualdades
Por oposición, una desigualdad es una relación de una o dos variables en que una de ellas no es igual al valor opuesto en la expresión. Por ejemplo $x>3$ significa que la variable $x$ puede tomar cualquiera de los valores posteriores a $3$, es decir, no incluye al $3$, por ejemplo $3.00000000001$
Tratándose de dos variables, por ejemplo $y> x$ significa que los valores que toma la variable $y$ están por arriba de los valores de $x$. Para entender esta nueva relación imaginemos que $y = x$. Al graficar dicha relación obtenemos una línea que corta exactamente a la mitad el cuadrante $1$. Si ahora decimos que $y$ > $x$ entonces, los valores de $y$ serán los que estén por encima de dicha relación tal como se aprecia en la gráfica:
A continuación, te presento una hoja activa de Geogebra en donde puedes, de manera práctica comprender de manera más amplia el concepto
Al lado izquierdo, ves tres círculos que se pueden activar y desactivar para visualizar una inecuación. En la pantalla, $1x > 0.5$ puede cambiarse si se mueven los botones de abajo que tienen las letras $a$ y $b$ la inecuación cambia pues está escrita de la forma $bx > a$
La segunda inecuación, está escrita de la forma $y = bx + a$ lo que significa que si se mueven los tres botones, la forma original que se ve en el lado izquierdo también cambia
Por último, si desactivamos las dos primeras inecuaciones y solo dejamos la última, escrita como $y = x$, veremos una gráfica similar a la imagen mostrada antes de esta hoja dinámica. Hasta abajo verás del lado izquierdo, tres círculos para los botones $a, b$ y $c$ llamados deslizadores. A la derecha de cada uno de ellos, tiene un botón para iniciar la reproducción automática para que observes la variación
Todos los botones de la gráfica son susceptibles de modificar en sus valores, solo hay que dar un doble click para activar el objeto en forma de edición, y luego un click para hacer los cambios a las ecuaciones. Enseguida, mover los deslizadores hasta colocarlos en el valor deseado
Intenta hacer los cambios a las desigualdades:
En la primer desigualdad, haz que cambie de $1x > 0.5$ a $1x^2 > 0.5$ y luego a $1x^3 > 0.5$
¿Qué observas por ejemplo cuando $1x^2 > 4$ ?, de la misma manera ¿que ocurre cuando $1x^3 > 3$ ?
Desactiva la primer desigualdad y activa la segunda. ¿Qué ocurre cuando $y = 1x^3 + 3$ ?¿Y si modificas de forma que quede $y = 1x^2 + 3$?
¿ Y si todas las desigualdades cambian el signo de $>$ a $< $?
Ahora, si activas las dos primeras de tal forma que se vea $y = 1x^3 + 1$ al mismo tiempo que $1x^3 + 1$ ?¿Cómo se interpreta ese nuevo resultado? ¿Qué representa cada área y la que aparece entre la azul y la verde?
Comenta tus respuestas en el espacio al final de esta página.
Análisis de funciones:
En este curso, se hace énfasis en el estudio de la variación, de ahí, que resulta primordial definir con claridad aspectos clave. Al igual que el tema anterior, trataremos de abordar el tema desde una perspectiva geométrico-analítica y para ello, nos auxiliaremos del Geogebra. En la pestaña que dice applets, encontrarás una propuesta para cada una de ellas
Ahora veamos algunas definiciones empíricas relativas al tema de funciones:
- Función: La definición más difundida es la de W. A. Granville cuyas primeras ediciones datan de 1904 que dice que "... cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinada si se da un valor a la segunda, entonces, se dice que la primera es función de la segunda". De manera práctica se pueden hacer enunciados tales como: "la altura de la planta depende de la cantidad de agua disponible", o "el peso es función de la estatura" o también, "el calor depende de la estación del año", etc y éstas variables se pueden representar en un par de ejes de tal forma que siempre se coloca la variable dependiente en el eje de las y y la variable independiente en el eje de las x
- Variable independiente: Se le denomina así, a la variable que determina el cambio en la otra. Por ejemplo, si decimos que el peso depende de la estatura, entonces, la variable que provoca el cambio en el peso es la estatura, y por tanto, esa es la variable independiente
- Variable dependiente: Por analogía, la variable que recibe el cambio es es la variable dependiente y en el ejemplo anterior, la variable que depende de la estatura es el peso y por tanto esa es la variable dependiente
- Dominio: En una función lineal, la x puede tomar todos los valores de la recta numérica tanto positivos como negativos hasta el infinito negativo o positivo. En este caso, se dice que el dominio son todos los valores que puede adoptar la x. En una función racional por ejemplo, $ y= \frac{1}{x}$ la x no puede tomar el valor de cero porque el resultado es indeterminado o infinito, en este caso, se dice que el dominio son todos los valores positivos o negativos excepto el cero
- Rango: De manera análoga, el rango son todos los valores que adopta la y en una función. En los ejemplos anteriores, el rango en una función lineal son todos los valores positivos y negativos, pero en la función racional la y tiende a cero cuando la x tiende a menos infinito ($ -\infty$) o a infinito positivo ( $+\infty$)
- Intervalo: Se dice de forma simple de los límites entre los que se encuentra el dominio o el rango, por ejemplo de -3 a 3. Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados o una combinación de ellos, como por ejemplo:
- (-3 , 3) intervalo abierto que no incluye a esos valores pero a todos los que están entre ellos, sí. El círculo vacío en los extremos indica que esos valores no se incluyen. Por ejemplo -2.999999 sí está incluido pero el -3 no. La expresión algebraica es: $-3 < x < 3 $ y la gráfica se vería así:
- (-2, 4] intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha. En este caso el -2 no está incluido pero el 4 sí esta. Ahora, el círculo de la izquierda está vacío y el derecho está lleno. La expresión algebraica es: $-2 < x \leqslant 4$
- [0 , 3) intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, es decir, incluye al 0 pero no incluye al 3. Ahora el círculo izquierdo está lleno y el derecho vacío. La expresión algebraica es: $0 \leqslant x < 3 $
- [-1 , 2] intervalo cerrado por los dos lados en donde están incluidos el -1 y el 2. Ahora, los dos círculos están llenos y la expresión algebraica es: $ -1 \leqslant x \leqslant 2$ Su gráfica es:
- Función creciente: Se dice que una función es creciente en un intervalo cuando su pendiente va en aumento. En la gráfica, el intervalo $\overline{CD}$ es creciente
- Función decreciente: De igual forma, una función es decreciente en un intervalo si su pendiente va disminuyendo. En la gráfica, el intervalo $\overline{AB}$ es decreciente
- Función constante: Significa que el valor de la función se mantiene en el mismo valor para todo el intervalo. En la gráfica, el intervalo $\overline{CD}$ es constante
- Función continua: Cuando una función en un intervalo determinado no tiene cortes o su gráfica no se interrumpe
- Función discontinua: De igual forma, es discontinua en un intervalo si tiene cortes, o bien, se forma a trozos, o su gráfica se interrumpe en determinados puntos
Se observa que para $y=-1$ el intervalo es $(-∝ , 0]$ e incluye al $0$, y para el trozo formado por la recta $y = x$ el intervalo es $(0 , 1)$ y no están incluidos ni el $0$ ni el $1$. Para el último trozo la función es $y = -x^2 + 2.5$ y se observa que inicia en $x=1$, es decir, sí lo incluye y se mantiene constante hasta el infinito por lo que, su intervalo es $[1 , ∝)$
- Tipos de funciones: Se dividen en dos grandes grupos:
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